基于灰色预测和ARIMA模型的组合模型对循环物资价格预测

李霖泽

      【摘要】随着工业化进程的推进，废钢作为重要的可再生资源，其价格波动对钢铁制造业及整个产业链的稳定性产生显著影响。本研究创新性地构建GM(1,1）和ARIMA(0,1,0）的组合模型，对废钢价格进行深入分析与预测，以期为钢铁企业与政策制定者提供科学的决策支持。灰色预测模型以其适应不完全信息和数据波动性的特点，在中短期预测中展现出高效性。同时，建议定期更新和优化模型，以适应市场环境的变化。
      【关键词】循环物资；灰色预测；ARIMA模型；组合预测模型；价格分析
一、 研究方法
      （一）灰色系统理论基础
      灰色系统理论是一种数学工具，专门用于处理不确定性信息，由邓聚龙教授于1982年创立。该理论适用于分析和预测数据不完全、信息不明确的系统。灰色系统理论的核心在于通过数据生成，将不确定性问题转化为确定性问题。GM(1,1）模型作为灰色系统理论中的基础模型，适用于单维数据序列的预测，通过建立一阶线性微分方程来预测原始数据序列的未来趋势。
      （二）ARIMA模型基础
      ARIMA模型是一种在时间序列预测中广泛使用的统计方法，能够处理数据的季节性变化和非平稳性。该模型由自回归（AR）、差分（I）和移动平均（MA）三个部分组成。该模型在金融、经济、工业等领域的时间序列预测中展现出较强的适应性。
      （三）价格影响因素分析
      在钢材供应链中，废钢价格与供需关系、利润水平、周期性因素和政策导向紧密相关。具体影响因素包括：经济增长对废钢供应量的影响；高炉生产利润与废钢铁水价差对长流程废钢日耗的影响；电炉生产利润对废钢消耗量的影响；以及季节性因素，如春节期间工人休假导致废钢需求下降等。本文数据来源于循环物资回收平台，选取2023年1月至2024年7月的废钢价格数据，以预测未来三期的价格趋势。
二、实证分析
      （一）GM(1,1）模型分析步骤
      1、级比检验
      在建立灰色预测模型之前必须保障建模方法的可行性，对2023年1月至2024年7月的废钢价格数据做对比检验。设初始非负数据序列为

      只有当所有的σ(k)全部落入计算范围内才可以进行模型的建立。级比的计算和判断公式分别为：

      在着手构建灰色预测模型GM(1,1）之前，必须对时间序列数据进行一致性检验。如果数据序列成功通过这一检验，那么它就符合构建灰色模型的条件；如果未能通过，那么就需要对数据序列实施平移转换操作，以满足序列一致性检验的要求，根据公式（1）（2）得级比检验结果，经校验，平移转换后序列的所有级比值都位于区间（0.905，1.105）内，因而可以建立较为理想的GM(1,1）模型。该处理既保持了原始序列特征，又符合灰色建模要求。
      2、累加运算
      通过累加运算后得到x^(0) 的一阶累加序列有助于降低x^(0) 的扰动：

      3、构建数据矩
      阵构建数据矩阵B及数据向量Y，分别为

      则灰色微分方程的最小二乘估计参数列满足

      其中，a主要控制系统发展态势，被称为发展系数；b的大小反映数据变化的关系，被称为灰色作用量。
      根据公式（3）－（8）构建灰色预测模型，并检验其是否合理，其中发展系数a=0.005；灰色作用量b=6067.758；后验差比C值=0.316。
      经校验后验差比值为0.316，小于0.35，模型精度较高。
      经过一系列检验，废钢价格月度均价拟合值平均相对误差∆在5%以内，模型平均相对误差为2.834%，结果表明，所建立的GM(1,1)模型具有较高的预测可靠性，适用于废钢价格趋势分析。
      4、 建立模型并求解生成值与还原值
      建立模型并求解生成值与还原值。依据公式求解，可得到预测模型

      经过累减，得到还原拟合值，对未来三期数据进行预测，分别是2425.04、2398.41、2371.91。预测结果显示废钢价格呈平稳下降趋势，三期累计降幅约2.2%，符合当前市场供需关系的预期变化。该预测结果为钢铁企业的原料采购决策提供了可靠的量化依据。
      （二）ARIMA模型构建
      1、平稳性检验
      根据可以看出2023年1月至2024年7月的废钢价格数据波动下降趋势，波动幅度不稳定，单从序列趋势无法判定价格序列是否平稳，还需进行ADF检验。对价格时间序列数据进行ADF检验，判断序列平稳性。ADF检验结果，见表1。

      序列的检验结果揭示，在0阶差分的情况下，显著性P值为0.705，未达到统计显著性水平，因此不能否定原假设，说明该序列是非平稳的。而在1阶差分下，显著性P值降至0.005，达到统计显著性水平，达到平稳要求。2阶差分P值0.000，存在过差分风险。进一步确认序列的平稳性。
      2、模型识别与参数估计
      查看差分前后数据对比图，判断基本平稳，上下波动幅度不大。对时间序列进行自相关和偏自相关分析，根据截尾情况估算其p、q值。通过观察数据的自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF），以及基于AIC准则衡量模型拟合优度和模型的复杂度。来确定最适合数据的ARIMA模型参数，选择ARIMA模型（0,1,0），见表2模型参数表。

      据Q统计量的分析结果，Q6在统计水平上并不显著（P值超过0.1，符合白噪声特征），这意味着模型的残差可以被认为是白噪声序列。此外，模型的拟合优度R2为0.641，显示出模型的表现相当不错，基本达到了预期标准。
      （三）GM(1,1)—ARIMA(0,1,0）组合模型构建
      本文通过均方差倒数法来确定各个模型的权重，这种方法对于误差较小的模型赋予较高的权重，而对于误差较大的模型赋予较低的权重，这样做是为了尽可能地减少GM(1,1)—ARIMA(0,1,0）组合模型的误差平方和。

      根据式（10）和相关数据，我们可以计算出在组合预测模型中，灰色GM(1,1）预测模型和ARIMA(0,1,0）模型的权重分别为0.956和0.044，据此，废钢价格的组合预测模型可以构建为：

      根据式（11），得Ft=0.956F1t+0.044F2t，计算组合模型预测值。
      利用预测结果，对模型预测效果进行分析，本文采用平均绝对百分比误差（MAPE）进行计算MAPE计算公式为：

      根据式（12）计算三种模型平均绝对百分比误差（MAPE），GM(1,1）模型MAPE为0.0284；ARIMA(0,1,0）模型MAPE为0.0293；组合模型MAPE为0.0277。
      观察结果，我们可以发现组合预测模型的平均绝对百分比误差2.77%<5% ，小于模型GM(1,1）和ARIMA(0,1,0）的MAPE，这说明组合模型在提高预测的准确性和稳定性方面是有效的，这与理论预期是一致的。
      （四）组合模型价格预测
      GM(1,1)—ARIMA(0,1,0）组合模型价格预测未来三期价格预测为2394.94、2366.69、2338.45。
三、结语
      基于灰色预测和ARIMA模型的组合模型为废钢价格预测提供了一种新的视角和方法。在模型有效性方面，灰色预测模型GM(1,1）和ARIMA(0,1,0）模型均能有效预测废钢价格，且组合模型进一步提高了预测的准确性。在预测精度方面，组合模型通过优化单个模型的权重分配，实现了对废钢价格更为精确的预测。在实际应用价值方面，研究成果可为设备回收企业提供科学的决策支持，有助于提高资源配置效率和市场响应速度。
      未来研究可进一步探索不同模型组合的权重分配方法，以及纳入政策、期货等外生变量，以期建立更为全面和精确的废钢价格预测模型。同时，建议在实际应用中定期对模型进行更新和优化，以适应市场环境的变化。
参考文献
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